vipetroff

Category:

Задача из китайской средней школы.


Найдите площадь закрашенной фигуры методами школьной математики (без использования интегралов).

Рисунок к задаче
Рисунок к задаче

Предположим длина стороны квадрата равна a. Введём декартовую систему координат с началом в точке O, центре окружности, оси направлены параллельно сторонам квадрата.

Отмечены ключевые точки
Отмечены ключевые точки

Обозначим площадь S_pab криволинейного треугольника PAB, закрашенного в серый цвет. Выразим искомую площадь S через S_pab.

S1 > S2
S1 > S2

Найдём координаты x, y точки A.

x > 0, y > 0
x > 0, y > 0

Используя формулу площади кругового сектора s_φ=1/2 r^2 φ , найдём площадь S_pab.

Поиск 2S
Поиск 2S

Проверка ответа методами высшей школы (используя определённый интеграл).

Пусть сторона квадрата a равна 2. Повернём оси системы координат так, чтобы они шли вдоль диагоналей квадрата. Тогда площадь может быть выражена через определённый интеграл.

Выражение площади через интеграл
Выражение площади через интеграл

Взятие интеграла.

cos(π/4−arcsin(1/4(√7−1)))=√7/√8

cos(π/4−arcsin(1/4(√7−1)))=√7/√8
cos(π/4−arcsin(1/4(√7−1)))=√7/√8

2S = 1.17105

Доказательство arcsin(1/8(5−√7))+arcsin(√7/√32)=π/4.

arcsin(1/8(5−√7))+arcsin(√7/√32)=π/4
arcsin(1/8(5−√7))+arcsin(√7/√32)=π/4

Доказательство arcsin(√7/√8)−arcsin(1/4(√7−1))=π/4.

arcsin(√7/√8)−arcsin(1/4(√7−1))=π/4
arcsin(√7/√8)−arcsin(1/4(√7−1))=π/4

Error

Anonymous comments are disabled in this journal

default userpic

Your reply will be screened

Your IP address will be recorded