Повелитель монет: Две башни

Злобный Дракон поймал двух принцесс, Читу и Ниту, и посадил их в разные башни своего замка. Затем Злобный Дракон подбросил правильную монетку бесконечное число раз. Все результаты чётных бросков он сообщил Чите, а все результаты нечётных — Ните. Далее Дракон предлагает каждой из принцесс назвать номер любого подбрасывания, результат которого ей не известен. То есть Чита должна назвать нечётный номер, а Нита — чётный. Если результаты бросков, названных Читой и Нитой, одинаковые, то Злобный Дракон дарит каждой принцессе тортик, розового плюшевого зайца и отпускает на свободу. Если же результаты бросков отличаются, то Злобный Дракон съедает Читу и Ниту с клюквенным вареньем. Дракон обожает принцесс и клюквенное варенье! Принцессы знают о повадках Злобного Дракона и могли заранее до похищения договориться о стратегиях. Как им следует себя вести и чему равна вероятность спасения?

coin toss
coin toss
Collapse )

Задача о пауке и мухе

Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого указаны на рисунке. Посредине боковой стены на расстоянии одного фута от потолка сидит паук. Посредине противоположной стены на высоте одного фута от пола сидит муха. От страха у нее отнялись ноги и она не может двинуться с места. Спрашивается, каково кратчайшее расстояние, которое должен преодолеть паук для того, чтобы схватить муху?

Рисунок к задаче
Рисунок к задаче
Collapse )

Теорема Фробениуса.

Теорема Фробениуса. Любое тело , содержащее , изоморфно либо действительным числам , либо комплексным числам , либо кватернионам , при выполнении условий:

  1. любой элемент коммутирует по умножению с вещественными числами: ;

  2. является конечномерным векторным пространством над полем .

Перед доказательством нам понадобится лемма и определение оператора инволюции.
Определение. Инволюцией тела (поля ) называется такой автоморфизм порядка не больше чем два , что выполняются аксиомы:



  1. для поля или тела ( или аксиома антидистрибутивности для тела )


Если для тела выполняется аксиома антидистрибутивности, то оператор называют антиинволюцией. Для комплексных чисел операция комплексного сопряжения является оператором инволюции поля .

Обозначим подполе неподвижных элементов в , где определена операция инволюции .
Лемма. Степень над не больше двух, .
Доказательство. Рассмотрим , нетрудно показать, что это линейное пространство над какой-то размерности. Действительно . Докажем, что размерность как векторного пространства над не больше 1. Если , то размерность 0, иначе и мы можем построить гомоморфизм , который очевидно имеет тривиальное ядро, поэтому инъективен. Покажем, что он сюръективен и, следовательно, является изоморфизмом.
Пусть в нашёлся другой , линейно независимый с . Очевидно, что если , то . Поэтому , тогда , где и . Таким образом мы нашли нетривиальную линейную комбинацию независимых векторов. Противоречие.
Значит существует обратный изоморфизм , задаваемый .
Теперь любой элемент представим или если обозначить , то , где . Осталось показать, что , поэтому такое представление единственно и является прямой суммой одномерных линейных над подпространств.

Доказательcтво #2. . Умножение слева на ненулевой элемент есть автоморфизм , переводящий элементы в элементы и наоборот .
Умножение слева на ненулевой элемент из устанавливает изоморфизм двух подпространств , поэтому их размерности совпадают и равны 1.

Доказательство теоремы. Присоединим один элемент не из поля действительных чисел, чтобы получить поле комплексных чисел. Рассмотрим гомоморфизм колец , имеющий нетривиальное ядро. Обозначим образ гомоморфизма. изоморфно фактор по неприводимому многочлену . Неприводимые многочлены над полем вещественных чисел могут быть линейные или квадратичные. Пусть , но . Значит многочлен второй степени с комплексными корнями .
Получили поле комплексных чисел как квадратичное расширение .
, где

Теперь тело можно рассматривать как правое векторное пространство над , . Чему равна размерность этого пространства? Введём следующую операцию инволюции, . Согласно лемме пространство представимо в виде прямой суммы , где , и является одномерным линейным над подпространством. Все элементы поля неподвижны относительно инволюции, следовательно . Докажем, что . Действительно, предположим это не так и существует элемент . Раз все элементы коммутируют с мнимой единицей , то они коммутируют и с . Мы можем рассмотреть гомоморфизм , имеющий нетривиальное ядро, поэтому изоморфно фактор по неприводимому многочлену . Но в все неприводимые многочлены линейны , следовательно совпадает с и .
Любой элемент представим или если обозначить , то , где .

Рассмотрим какой-нибудь , его квадрат . Очевидно квадрат даже отрицательное действительное число . В из положительного числа можно извлечь квадратный корень, , обозначим . , так как есть произведение на скаляр из . Взяв в качестве базиса в получаем представление , где .
, потому что . Так как , верно равенство .


Ещё одна формулировка теоремы Фробениуса.
Теорема. Пусть — R-алгебра без делителей нуля и конечной размерности над . Тогда является одним из , или .
Доказательство. Сведём условия теоремы к предыдущему случаю. Пусть v ненулевой элемент A. Левое умножение на v есть линейное отображение A в себя и, ввиду его инъективности и сюръективности, найдётся единственный элемент e из A, что v∙e=v. Так как v(w−e∙w)=0, то w−e∙w=0, w=e∙w и значит элемент e задаёт тождественный оператор при умножении слева. Правое умножение на v тоже задаёт линейное отображение со свойствами инъективности и сюръективности, найдётся элемент v`: v`∙w=e. Тогда алгебра имеет единичный элемент e, каждый ненулевой элемент обратим в мультипликативной группе и поле вкладывается в при помощи гомоморфизма . Все элементы коммутируют с полем действительных чисел . Можно считать, что является векторным пространством над со следующей операцией умножения на скаляр .

Литература.

Пример антиинволюции.
Рассмотрим как правое векторное пространство над . Введём следующую операцию антиинволюции, . Комплексные коэффициенты в правой линейной комбинации заменяем на сопряжённые в левой линейной комбинации. Очевидно, что образуют базис и для правого, и для левого векторного пространства. Относительно вектора линейно независимы с любой стороны, потому что тело коммутирует с , докажем линейную независимость для чисто мнимых коэффициентов. Пусть противное, система зависима, то есть для некоторого нетривиального набора действительных чисел. Тогда и следовательно , противоречие с линейной независимостью относительно .
Проверим аксиомы антиинволюции.

  1. очевидно, докажем



Произведение при фиксированном является линейным оператором в правом векторном пространстве над , то есть . С другой стороны есть линейное отображение тела при фиксированном , рассматриваемого как левое векторное пространство. Если в базисе линейное отображение имеет матрицу , то в том же базисе отображение имеет матрицу и аксиома 2. верна в силу матричного равенства .



Олимпиадная задача про пересечение серединных перпендикуляров.

Точки M и N фиксированы на окружности. Точка P бегает по окружности, так, что треугольник MNP остроугольный. Точки Е и F проекции середины отрезка MN на прямые MP и NP. Докажите, что всевозможные серединные перпендикуляры к EF проходят через какую-то фиксированную точку.


Collapse )

Равенство регулярных мер на борелевских множествах


Есть теорема Безиковича о покрытии, о ней чуть позже, а вот следствие из теоремы такое.

Следствие из теоремы Безиковича. Пусть в каждой точке x измеримого множества X⊂R^d  дан набор замкнутых шаров {B(x, r_t)}_t с центрами в x, радиусы которых {r_t} имеют сколь угодно малое ненулевое значение, иными словами inf {r_t}=0 и r_t>0. Тогда из всех этих шаров можно выбрать счётную систему попарно непересекающихся шаров C={B(x_k, r_t_k)}_k, которая покрывает почти всё X, то есть μ(X \ ∪B(x_k, r_t_k))=0. Мера μ предполагается борелевской и регулярной, μ(X)<∞.

Доказательство. Пусть X⊂R^d таково, что μ(X)<∞, η(X)<∞. Рассмотрим открытое множество G_ε и замкнутое F_ε, F_ε⊂X⊂G_ε,   |μ(X)-μ(F_ε)|<ε, |η(X)-η(F_ε)|<ε, |μ(X)-μ(G_ε)|<ε, |η(X)-η(G_ε)|<ε. Тогда существует набор замкнутых шаров {B(x, r_t)}_(x,t) с центрами в x∈F_ε и радиусами r_t, такими что B(x, r_t)⊂G_ε. Из F_{1/k}⊂G_{1/k}, ε=1/k образуем возрастающую и убывающую последовательности F'_{1/m}=∪F_{1/k}⊂X⊂⋂G_{1/k}=G'_{1/m}, из непрерывности и регулярности мер lim μ(F'_{1/m})=lim μ(G'_{1/m})=μ(X) и lim η(F'_{1/m})=η(G'_{1/m})=η(X) при m→∞.

Collapse )

Алгоритм вычисления числа π.

Формула для вычисления арктангенса.

Производная арктангенса
Производная арктангенса
Один корень, деление на (1-x)
Один корень, деление на (1-x)


Пусть x=−t^2
Пусть x=−t^2
Поделим всё на (1+t^2)
Поделим всё на (1+t^2)

Проинтегрируем от 0 до x. 

Интегрируем производную арктангенса
Интегрируем производную арктангенса
Остаток быстро стремится к нулю при росте n
Остаток быстро стремится к нулю при росте n
Представление арктангенса в виде ряда
Представление арктангенса в виде ряда
Этот ряд очень медленно сходится к пи/4
Этот ряд очень медленно сходится к пи/4
Оценка остаточного члена в ряде арктангенса.
Оценка остаточного члена в ряде арктангенса.



При |x|<1 ряд арктангенса сходится достаточно быстро. Дальнейшая наша цель найти такую линейную комбинацию арктангенсов с аргументами меньше единицы, чтобы она равнялась числу π.

Линейная комбинация с целыми коэффициентами.
Линейная комбинация с целыми коэффициентами.

Рассмотрим степень комплексного числа и свяжем его аргумент с арктангенсом от рационального числа.

Аргумент комплексного числа равен углу.
Аргумент комплексного числа равен углу.

Если произведение степеней комплексных чисел равно (c+id), так что c=d, то его аргумент равен π/4.

Формула Эйлера.

Если разложить арктангенсы в ряд, то быстрее сходится к π чем ряд арктангенса от единицы.
Если разложить арктангенсы в ряд, то быстрее сходится к π чем ряд арктангенса от единицы.

Формула Hermann.

Быстрее сходится чем предыдущая формула.
Быстрее сходится чем предыдущая формула.

Формула Hutton.

Тоже быстро сходится.
Тоже быстро сходится.

Формула Machin.

Самая быстрая формула по сравнению с предыдущими.
Самая быстрая формула по сравнению с предыдущими.


Код вычисления числа π на языке C#.

Output.

Enter pi precision: 1000


Series length: 120

[Output]3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 964428 810975 665933 446128 475648 233786 783165 271201 909145 648566 923460 348610 454326 648213 393607 260249 141273 724587 006606 315588 174881 520920 962829 254091 715364 367892 590360 011330 530548 820466 521384 146951 941511 609433 057270 365759 591953 092186 117381 932611 793105 118548 074462 379962 749567 351885 752724 891227 938183 011949 129833 673362 440656 643086 021394 946395 224737 190702 179860 943702 770539 217176 293176 752384 674818 467669 405132 000568 127145 263560 827785 771342 757789 609173 637178 721468 440901 224953 430146 549585 371050 792279 689258 923542 019956 112129 021960 864034 418159 813629 774771 309960 518707 211349 999998 372978 049951 059731 732816 096318 595024 459455 346908 302642 522308 253344 685035 261931 188171 010003 137838 752886 587533 208381 420617 177669 147303 598253 490428 755468 731159 562863 882353 787593 751957 781857 780532 171226 806613 001927 876611 195909 216420 198938


Код C#.

Collapse )


Код вычисления числа Эйлера 'e' на языке C#.

Output.

Enter e precision: 1000


Series length: 459

[Output.]2,718281 828459 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 076630 353547 594571 382178 525166 427427 466391 932003 059921 817413 596629 043572 900334 295260 595630 738132 328627 943490 763233 829880 753195 251019 011573 834187 930702 154089 149934 884167 509244 761460 668082 264800 168477 411853 742345 442437 107539 077744 992069 551702 761838 606261 331384 583000 752044 933826 560297 606737 113200 709328 709127 443747 047230 696977 209310 141692 836819 025515 108657 463772 111252 389784 425056 953696 770785 449969 967946 864454 905987 931636 889230 098793 127736 178215 424999 229576 351482 208269 895193 668033 182528 869398 496465 105820 939239 829488 793320 362509 443117 301238 197068 416140 397019 837679 320683 282376 464804 295311 802328 782509 819455 815301 756717 361332 069811 250996 181881 593041 690351 598888 519345 807273 866738 589422 879228 499892 086805 825749 279610 484198 444363 463244 968487 560233 624827 041978 623209 002160 990235 304369 941849 146314 093431 738143 640546 253152 096183 690888 707016 768396 424378 140592 714563 549061 303107 208510 383750 510115 747704 171898 610687 396965 521267 154688 957035 035402

Код C#.

Collapse )


Применение модели смертности Гомпертца-Мейкхама к таблице смертности РФ 2014-го года

Некоторые обозначения в актуарной математике.


ξ - случайная величина продолжительность жизни.
s(x) - функция выживания, вероятность того, что человек доживёт до возраста x.
F(x) - функция распределения случайной величины ξ.
f(x) - плотность распределения случайной величины ξ, и в актуарной математике закреплён термин кривая смертей (the curve of deaths).
μx - функция интенсивности смертности.

Величина μx∙t приближённо равна вероятности смерти человека возраста x в интервале (x, x+t). В теории надёжности функция μx называется функцией отказов (hazard rate function).




Верна формула
.
Доказательство.
Решим дифференциальное уравнение .




Таблица смертности населения России для календарного года 2014.
Общепринятые обозначения таблицы смертности населения.

  • х — возраст (от 0 до 100 лет);

  • l(x) («эль малое икс») — точное число доживающих до возраста х лет (l(0) обычно принимается за 100000);

  • d(x)= l(x) -l(x+1)— число умирающих при переходе от возраста х к возрасту х+1 лет;

  • q(x)=d(x) / l(x) — вероятность умереть при переходе от возраста х к возрасту х+1 лет;

  • р(x)=1-q(x) — вероятность дожития до возраста х+1 лет для лиц в точном возрасте х лет;

  • m(x) — коэффициент смертности, он примерно равен средней интенсивности смертности, усредненной по году.

  • L(x) («эль большое икс») — среднее число живущих в возрасте х (с точки зрения демографии, это число человеко-лет, прожитых поколением в возрасте х), обычно рассчитывается как среднее арифметическое между l(x) и l(x+1) для всех возрастов, кроме 0 (L(0) рассчитывается по особой формуле ввиду крайней неравномерности распределения младенческой смертности);

  • Т(x) — число человеко-лет, которое предстоит прожить совокупности людей, находящихся в возрасте х лет (сумма L(x) от возраста х до верхнего возрастного предела таблицы);

  • е(x)=Т(x) / l(x) — средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни в возрасте х лет. Как правило, под ожидаемой продолжительностью жизни (ОПЖ) понимают ожидаемую продолжительность жизни при рождении, то есть е(0), которая и является итоговым показателем таблицы смертности.







Модель Гомпертца

(Gompertz,1825)
Согласно закону Гомпертца интенсивность смертности для возраста x, x≥0 есть ,
где β обозначает уровень смертности в возрасте 0 лет и γ - скорость старения. То есть интенсивность смертности μx в возрасте x является экспоненциальной функцией возраста.
Функция выживания - .
Кривая смертей - и имеет максимум в точке .

Модель Мэйкхама (Гомпертца-Мейкхама)

(Makeham,1860)
Дополнительный параметр α>0 был добавлен к модели Гомпертца, чтобы учесть интенсивность смерти от несчастных случаев, он предполагается постоянным и независимым от возраста. Получилась следующая модель .


Предложенная Мэйкхамом модель утверждает, что если время жизни X, человека является распределенным по Гомпертцу, случайная величина Y - время несчастного случая со смертельным исходом имеет экспоненциальное распределение, а случайные величины X и Y независимы, то минимум X и Y имеет распределение Мэйкхама. Закон Мэйкхама наиболее подходит для изучения процесса смертности человека, так как в нём учитывается, что для малых возрастов преобладающую роль в смертности играют несчастные случаи, а с увеличением возраста их роль ослабевает. Модель наилучшим образом описывает динамику смертности человека в диапазоне возраста 30—80 лет. В области большего возраста смертность не возрастает так быстро, как предусматривается этим законом смертности.
Исторически смертность человека до 1950-х годов была в большей мере вызвана независимым от времени компонентом закона смертности (членом или параметром Мейкхама), тогда как зависимый от возраста компонент (функция Гомпертца) почти не изменялась. После 1950-х годов картина изменилась, что привело к снижению смертности в позднем возрасте и так называемой «де-ректангуляризации» (сглаживанию) кривой выживания.

Модели Гомпертца и Мейкхама использовались более ста лет в основном страховыми компаниями для прогнозирования смертности за пределами 65 лет.

Оценка параметров.


Пусть представляет вероятность того, что лицо, достигшее возраста x, умрет до достижения возраста x + 1. В терминах μx qx равно

Дополнение представляет вероятность того, что человек в возрасте х выживет, по крайней мере, до возраста x + 1.
Начнем с преобразования модели Мейкхама в линейное уравнение с использованием логарифмического линейного преобразования и подгонки кривой с использованием линейной регрессии.

Верна формула, если интенсивность смертности μx сильно не меняется в течении года.

Беря натуральный логарифм с обеих сторон, получаем:

Затем устанавливается линия тренда с использованием excel в возрасте от 45 до 100 лет.
Мы используем линейное уравнение , где конкретные возрасты от 45 до 100 лет, чтобы преобразовать уравнение Мейкхама в линейную форму. Это связано с тем, что при исследовании логарифма интенсивности смертности между этими возрастами, как было установлено, для оценки точек данных можно использовать прямую линию. Это согласуется с моделью Гомпертца, которая является точной для средних лет.


Поэтому, приравнивая члены, мы видим, что: .
Параметры a и b оцениваются с использованием линейной регрессии, метода наименьших квадратов МНК;

Где x и y с чертой есть выборочные средние соответственно наблюдаемых выборок x и y.
Автономный параметр α был получен, взяв выборку более молодого возраста 20-30 (любой возраст может быть взят) и применения формулы;

Где ym высота градуировочной кривой в выборке моложе 35 лет из эксперимента и yg - высота прямой линии.
Вероятность выживания:
Уровень смертности:


График градуировочной кривой .


График градуировочной кривой и прямой тренда.

По таблице смертности населения РФ 2014-го года получаются следующие параметры:
α=0.00083783
β=0.00046131
γ=0.067795803



Уточнение оценок параметров методом максимального правдоподобия.

Maximum Likelihood Estimation.


Очень часто только дискретные данные доступны и параметры β, γ не могут быть установлены напрямую. Однако, если количество смертей и численность человеко-лет подверженных риску ухода из жизни может быть наблюдаемо, то мы вправе предположить, что число смертей в данном возрастном диапазоне подчиняется распределению Пуассона.
Пусть D обозначает число смертей и λ - параметр интенсивности распределения Пуассона.

Степенной параметр λ распределения Пуассона согласуется с μ(x), оба λ, μ (x)> 0. Интенсивность происшествий λ пуассоновского процесса предполагает одинаковое просматриваемое окно для каждой единицы наблюдений. При применении распределения Пуассона к данным о смертности, единицей наблюдений является количество смертей в каждой возрастной группе Dx и просматриваемое окно - это количество людей (или человеко-лет), подверженных риску ухода из жизни. Понятно, что число людей, которым грозит смерть, изменяется от одной возрастной группы к другой. Поэтому θ следует уравновесить по количеству человеко-лет подверженных смерти l(x) в возрасте x. После подстановки в f(D;λ) λ = l(x)∙θ, взятия логарифма и устранения аддитивных констант, функция логарифмического правдоподобия смертей D будет

Учитывая, что

Для аналитического получения оценки максимального правдоподобия, обозначим S как оценочную функцию правдоподобия и определим следующим образом

Из максимизации функции правдоподобия следует, что при оптимальных параметрах θ система уравнений, определяемая оценочной функцией, является однородной,

и матрица Гессе

отрицательно определённой.

Найдём максимум функции правдоподобия численным методом с использованием excel-ого "Solver" для возраста от 45 до 100 лет, его название "Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ". Это численный алгоритм поиска максимума нелинейной функции, в качестве первого приближения возьмём определённые выше оценки параметров β и γ, метод сходится уже после нескольких итераций.

Новые параметры:
α=0.00078390
β=0.00048454
γ=0.06653488

Новые значения параметров кардинально не поменялись, метод наименьших квадратов МНК сразу дал достаточно точное приближение.

Графики.


График функции выживания s(x).


График плотности распределения f(x), кривая смертей (the curve of deaths).
В модели Гомпертца максимум достигается
У плотности заметен максимум в районе 72-75 года и в таблице смертности параметр dx в эти года приближается к максимальному значению ≈2600, а именно ..., d72=2611, d73=2342, d74=2404, d75=2573, d76=2357, ...

Аналитический расчёт средней ожидаемой продолжительности жизни для возраста 0, 15, 45, 60, 65, 70 лет


Для расчёта средней ожидаемой продолжительности жизни используется формула:

Ожидаемая продолжительность жизни согласно статистическим данным 2014-го года составляет
e(0)=64 года
e(15)=49.2633/0.976058=50.47
e(45)=21.5232/0.8408=25.6
e(60)=10.1941/0.647763=15.7
e(65)=7.18764/0.552198=13
e(70)=4.69562/0.442675=10.6
Сравните цифры с этими данными, видно что функция распределения вполне подходит для проведения статистических расчётов.



Пенсия и срок дожития


Срок дожития — установленный правительством и рассчитанный по статистическим данным средний срок жизни гражданина после выхода на заслуженный отдых (время, в течение которого планируется начисление пенсии). Данное понятие используется для определения размера назначаемого пособия, таким образом, чем больше срок дожития, тем меньше ее размер.
Термин «срок дожития» был утверждён постановлением № 531 Правительства РФ 2 июня 2015 года.
Срок дожития используется для определения размера накопительной пенсии. Все пенсионные накопления делятся на ожидаемый период выплаты накопительной пенсии, после чего получаем ежемесячный размер накопительной пенсии. Чем больше срок дожития, тем меньший размер накопительной пенсии, начисляемой пенсионеру.

Страховая пенсия — это гарантированная государством ежемесячная выплата действующим пенсионерам, возмещающая им утраченный доход.
Пусть S60 — это ожидаемый размер всей начисляемой страховой пенсии, если выплаты начинаются в возрасте 60 лет, S70 — ожидаемый размер в случае начала выплат в 70 лет.
Посчитаем отношение S60/S70, предполагая, что в обоих случаях выплачивается какая-то фиксированная сумма P в месяц.


S60/S70=9.8906/4.45716=2.2
Следовательно, чтобы нивелировать эту разницу, необходимо пенсионерам 70 поднять пенсию в 2.2 раза, для чего был изобретён повышающий коэффициент.

Пенсионная формула
Математически пенсионная формула выглядит так:
СП = ПБ • СТ • КПБ + ФВ • КФВ

где:
СП — размер страховой пенсии, в рублях
ПБ — пенсионный балл (индивидуальный пенсионный коэффициент), начисленных на дату назначения гражданину страховой пенсии
СТ — стоимость пенсионного балла в год назначения страховой пенсии, в рублях
ФВ — фиксированная выплата, в рублях
КПБ — коэффициент повышения ПБ при назначении страховой пенсии по старости в более позднем возрасте
КФВ — коэффициент повышения ФВ при назначении страховой пенсии по старости в более позднем возрасте

Повышающий коэффициент при выходе на пенсию позже на 10 лет или более равен КПБ=2.32 и КФВ=2.11. Среднее арифметическое КПБ и КФВ как раз равно ≈2.2.


Список использованной литературы.